Puissance, énergie et rendement

La puissance

Définition : la puissance P est le produit de la tension U et du courant I, à chaque instant.

P = U × I

Symbole de la grandeur : P

Symbole de l'unité : [W] watt

Elle exprime la quantité de courant I transformé en chaleur ou en une autre énergie, dans les éléments d'un montage alimenté en régime continu.

Remarque :

Cette puissance P peut être mesurée avec un voltmètre et un ampèremètre en courant continu. Elle peut être aussi mesurée à l'aide d'un wattmètre.

Schémas

Exemple 1 :

Une lampe est connectée à un réseau de tension U continue. Les indications des différents appareils de mesures donnent: I = 500 [mA] U = 10 [V]

Calculer la puissance P de la lampe.

Données : I = 500 [mA] U = 10 [V]

Relation : P = U × I

Résolution :

Représenter graphiquement la puissance P à l'aide de U et I en fonction du temps:

P f(t) et U f(t) I f(t)

Exemple 2 :

Une résistance R dissipe une puissance de 1.2 [kW]. Sachant que cette résistance R est parcourue par un courant I de 3.54 [A], calculer la résistance.

Données : P = 1.2 [kW] I = 3.54 [A] Inconnue : R = ?

Relation : P = U × I ( 1 ) U = R × I ( 2 )

Schéma

Analyse

Nous connaissons le courant I et la puissance P. Nous devons chercher la résistance R.

Remplaçons la grandeur I inconnue de la relation (1) par la relation (2):

Nous obtenons la relation suivante:

Application numérique:

Energie électrique

Un conducteur parcouru par un courant I s'échauffe.

Pour que ce conducteur s'échauffe, une source de tension U doit fournir de l'énergie électrique W, qui se transforme en énergie calorifique.

Symbole de la grandeur : W

Symbole de l'unité :[J]joule

ENERGIE ELECTRIQUE ---------> ENERGIE CALORIFIQUE

W_électrique=> W_calorifique

Relation ou loi de Joule : W = R × I2 × t

Le produit de ( R × I2 ) peut être remplacé par la puissance P.

W = P × t

Analyse dimensionnelle: 1 [J] = 1 [W] × 1 [s]

L'énergie électrique s'exprime également en watt seconde [Ws].

1 [J] = 1 [Ws]

Dans les milieux électriques, on parle en unité courante de kilowattheure.

Comment arrive-t-on à cette unité ?

En une minute, il y a 60 secondes 60 × 1 [J] = 1 [W] × 1 minute

En une heure, il y a 60 minutes 60 × 60 × 1 [J] = 1 [W] × 1 heure

Le préfixe "kilo" signifie 1000 1000 × 3600 × 1 [J] = 1 [kWh]

Pertes par effet Joule PJ

Ces pertes représentent l'expression de l'énergie calorifique dissipée par le conducteur soumis au passage du courant I, pendant un temps t.

Nous constatons que les pertes par effet Joule sont proportionnelles au carré du courant I.

Exemple :

Une résistance R dissipe une puissance de 1.2 [kW].

Sachant que cette résistance R est parcourue par un courant I de 3.54 [A], calculer l'énergie électrique consommée pendant 1 heure 12 minutes 27 secondes.

Données : P = 1.2 [kW] I = 3.54 [A]

Inconnue : W = ?

Relation : W = P × t

Schéma

Analyse

Il nous faut transformer les heures, minutes, secondes en une unité qui peut être soit des heures, soit des secondes.

Choisissons de tout ramener en secondes

1 heure = 60 × 60 × 1 [s]= 3600 [s]

+ 12 minutes = 12 × 60 × 1 [s] = 720 [s]

+ 27 secondes = 27 × 1 [s] = 27 [s]

4347[s]

Application numérique : W = 1200 × 4347 = 5.22 × 10⁶ [Ws]

Cette réponse n'est pas dans une unité appropriée à l'électricité.

Il nous faut donner l'énergie en [kWh]. Comme c'est le cas pour la facture d'énergie électrique envoyée par le distributeur.

Nous savons que : 3600000 [J] = 3.6 × 10⁶ [Ws] = 1 [kWh]

Il nous faut donc diviser l'énergie W par 3.6 × 106 pour pouvoir l'exprimer en [kWh].

Résultat

Pertes par transformation d'énergie

Dans les exemples précédents, nous avons admis que toute l'énergie électrique W_él était transformée en énergie calorifique W_cal .

Représentons-nous cette transformation d'énergie :

Dans la pratique, aucun système de transformation d'énergie ne s'effectue sans pertes.

Une lampe électrique transforme un courant et une tension, pendant un certain temps, en une source d'énergie lumineuse. La lampe éclaire mais vous chauffe les mains aussi. Cet échauffement est une énergie hors du spectre lumineux, appelée INFRAROUGE. Elle représente dans notre cas l'énergie perdue.

L'énergie W perdue est obtenue selon une relation proche des lois de Kirchhoff:

W_totale= W_{partielle utilisée}+ W_{partielle perdue}

D'un terme plus général S W_absorbée= SW_utile+SW_perdue

Ces mots peuvent être modifiés à votre guise.

Exemple

Une lampe absorbe un courant de 10 [A] et une tension de 48 [V] pendant 2 heures.

Sachant que la température du local est montée de 2 [°C], ce qui est l'équivalent d'un radiateur d'une puissance de 200 [W] connecté.

Calculer l'énergie électrique transformée en effet lumineux.

Données : U = 48 [V] I = 10 [A] t = 2 [h] P = 200 [W]

Inconnue : W_lumineuse = ?

relations : S Wabsorbée = S Wutile + S Wperdue W = P × t P = U × I

Energie électrique à disposition du réseau électrique :

W_absorbée = P × t remplaçons P par U et I Wabsorbée = U × I × t

W_absorbée = W_utile + W_perdue

W_perdue représente l'énergie calorifique non transformée en lumière.

W_perdue = P × t remplaçons P par U et I

isolons W_utiles en soustrayant W_perdue de chaque côté du signe =

W_absorbée- W_perdue= W_utile

A l'aide des relations , nous obtenons

(U × I × t) - (P_radiateur × t) = W_utile

mettons en évidence t pour avoir moins de touches de calculatrice à actionner, donc moins de risques d'erreur:

{(U × I) - P_radiateur } × I = W_utile Þ W_utiles = W_lumineuse

Application numérique

W_lumineuse = {(48 × 10) - 200} × 2 = 560 [Wh] = 0.56 [kWh]

Rendement

Il existe aussi la possibilité de mentionner le rapport entre l'énergie W_absorbée et l'énergie W_utile

Symbole de la grandeur : h

Symbole de l'unité : aucun

Ce rapport est appelé le rendement h (êta).
Sa valeur ne peut pas être plus grande que 1 car il y a toujours des pertes.

Exemple :

Un radiateur consomme une énergie électrique W de 2 [kWh].

Le rendement de ce radiateur est de 0.9.

Calculer l'énergie dissipée dans le local.

Données : W_absorbée = 2 [kWh] h = 0.9

Inconnue : W_utile = ?

Relation :

Cherchons à isoler W_utile en multipliant de chaque côté du signe égal par W_absorbée

h×W_absorbée= W_utile

Application numérique

W_utile = 0.9 × 2 = 1.8 [kWh]

Applications du rendement

La notion de rendement peut être appliquée aux autres grandeurs que l'énergie W.

Nous pouvons l'utiliser avec des puissances par exemple.

Une lampe consomme une énergie de 0.96 [kWh] en 2 heures. Sachant que la température q du local est montée
de 2 [°C], c'est comme si un radiateur d'une puissance de 200 [W] avait fonctionné.

Calculer le rendement de cette lampe.

Données : Wabsorbée = 0.96 [kWh] t = 2 [h] P = 200 [W]

Inconnue : h = ?

Relations : S Wabsorbée = S Wutile + S Wperdue W = P × t

Cherchons la puissance P absorbée par la lampe W = P × t Þ P =

Cherchons la puissance utile de la lampe

Cherchons le rendement

Il faut bien prendre garde à utiliser des unités UNIFORMES.

Nous pouvons aussi trouver la notion de rendement dans d'autres domaines que l'électricité, par exemple en mécanique. Mais nous pouvons aussi trouver des combinaisons de conversion d'énergie mécanique W_méc en énergie électrique W_él

Prenons l'exemple d'une centrale hydroélectrique.
La centrale de Verbois (près de Genève) possède une turbine KAPLAN et un alternateur, dont les rendements sont les suivants :

h_turbine= 0.92 h_alternateur= 0.95

Calculons le rendement global de cette centrale

Données : h_turbine = 0.92 h_alternateur = 0.95

Inconnue : h_global = ?

Analyse

La partie 1 représente la totalité d'énergie primaire (hydraulique) de la rivière, soit l'entier de la rivière 1. Cette valeur de 1 n'est pas très représentative, lorsque l'on parle, nous aimons exprimer cette valeur en pour-cent, soit

La partie 2 représente les pertes dues à l'opération de turbinage.

Dans notre cas, le rendement de la turbine h_turbine est de 0.92 ce qui implique :

W_utile₌W_absorbée_-W_utile

turbine avant turbinage après turbinage

Nous avons aussi vu que

donc, en remplaçant par cette relation, nous obtenons:

W_{perdue turbine} = 1 - (1 × 0.92) ou W_{perdue turbine} = 1 - 0.92 Þ W_{perdue turbine} = 100% - 92%

W_{perdue turbine} = 8% Þ W_{perdue turbine} = 0.08

La partie 3 représente l'énergie W_turbinée à disposition pour entraîner l'alternateur.

Soit le 92% ou 0.92 de l'énergie primaire de la rivière.

La partie 4 représente les pertes dues aux composants électriques de l'alternateur, aux vibrations mécaniques et autres.

Dans notre cas, le rendement de l'alternateur h alternateur est de 0.95 ce qui implique:

W_perdue₌W_absorbée_-W_disponible

alternateur avant l'alternateur après l'alternateur

Nous avons aussi vu que

donc en remplaçant par cette relation, nous obtenons:

W_{perdue alternateur} = (0.92 de 1) - (0.95 de 0.92) Þ (92% de 100%) - (95% de 92%)

W_{perdue alternateur} = (0.92 × 1) - (0.95 × 0.92) Þ 0.92 - (0.95 × 0.92)

W_{perdue alternateur} = 0.92 - ( 0.874 ) Þ 0.05

W_{perdue alternateur} = 4.6%

La partie 5 représente l'énergie secondaire W disponible.

Dans notre cas, il s'agit de l'énergie électrique W_él

Nous pouvons exprimer cette énergie secondaire Wél directement par rapport à l'énergie primaire W_méc

W_primaire_×hturbine= W_utile

Nous sommes au point 3 de notre représentation.

Mais cette énergie W_utile est en fait l'énergie sortie de la turbine

W_absorbée entrée alternateur
W_utile = W_absorbée

En appliquant une nouvelle fois la relation du rendement, nous obtenons pour l'énergie secondaire W_él :

W_absorbée_{×halternateur}= W_secondaire

Remplaçons l'énergie W_absorbée

(W_primaire_×hturbine)×h_alternateur= W_secondaire

Nous sommes au point 5 de notre représentation.

Comme nous cherchons le rendement global, il nous faut chercher à isoler les rendements en divisant de chaque côté du signe = par W_primaire

Nous pouvons donc écrire :

h_{turbine×halternateur
= hglobal}

Application numérique :

h_global = 0.92 × 0.95 => 0.87

ou exprimé en pour-cent : h_global = 0.87 × 100 => 87.4%

Selon notre développement, nous pouvons donner une loi générale lorsqu'il y a association de rendements:

h_{total
= h1 ×h2×....
×hn}

Effets calorifiques

La transformation d'énergie électrique W_él en une énergie calorifique W_cal est couramment utilisée.

Dans les installations électriques, nous trouvons une quantité impressionnante d'appareils domestiques réalisant cette transformation. Par exemples :

cuisinières
fours
radiateurs pour le chauffage des locaux
chaudière pour le chauffage d'un liquide
chauffe-eau pour l'eau sanitaire
lampe à incandescence

Tous ces exemples sont des applications contrôlables par l'homme.
Ils sont, de ce fait, utiles.

Nous pouvons dire ceci par opposition à l'effet Joule qui, lui, n'est pas contrôlé par l'homme mais par des lois spécifiques aux matières utilisées.

Pour pouvoir équiper vos maisons de ces appareils, il a bien fallu les dimensionner.

Comme nous sommes dans un domaine d'application des lois électriques, nous allons différencier l'énergie calorifique Wcal par un autre symbole de grandeur.

Energie calorifique

L'énergie transformée en énergie calorifique est symbolisée de la façon suivante:

Symbole de la grandeur : Q

Symbole de l'unité : [J] joule

Dans un transfert d'énergie, il y a toujours des pertes.

Une cuisinière électrique doit chauffer de l'eau dans une casserole. Le but est de pouvoir calculer l'énergie nécessaire pour faire bouillir cette eau.

Phase 1

La tension électrique U appliquée aux bornes de la résistance R provoque le passage d'un courant électrique I.

U = R × I

Phase 2

Ce circuit provoque une puissance électrique P,

P = U × I

Phase 3

qui, appliquée pendant un certain temps, engendre une énergie électrique Wél .

W_él = P × t

Phase 4

Mais ce transfert d'énergie se réalise avec un certain rendement h dû aux pertes par effet Joule (conducteurs).

W_él - W_joules = Q

Phase 5

Cette énergie calorifique Q doit être transmise à l'élément à chauffer qui peut être soit un liquide, soit un solide.
Ce transfert se fait avec un certain rendement h .

Q_absorbée×h = Q_utile

Phase 6

L'élément à chauffer va aussi avoir certaines réactions. Ces réactions seront dépendantes de:

la masse m de l'élément (solide, liquide, composition)
sa facilité de stocker l'échauffement appelé chaleur massique c
sa température q finale désirée
sa température q initiale

La relation qui lie les différents éléments que nous venons de citer est la suivante :

Q = m × c ×Dq

Il est nécessaire de disposer d'une tabelle pour connaître les différentes chaleurs massiques c des matières utilisées.

Masse

Nous rappelons que la masse d'un corps est donnée par rapport à un étalon de platine iridié pratiquement cylindrique égal à 1 [dm³ ] d'eau à une température de 4 [°C]

Symbole de la grandeur : m

Symbole de l'unité : [kg] kilogramme

Chaleur massique

La chaleur massique c exprime la facilité qu'a un corps de stocker de la chaleur.

Cette chaleur massique c n'est constante que dans des gammes de températures bien définies (voir tabelle)

Symbole de la grandeur : c

Symbole de l'unité : [J × kg^-1× °C^-1]

Température

La température exprime l'écart d'échauffement d'un corps par rapport à un point fixe de référence où il n'y a plus d'agitation des atomes (ou molécules).

Ce point fixe est la température absolue, soit le "zéro absolu"

Symbole de la grandeur : T

Symbole de l'unité : [K] kelvin

Le "zéro absolu" se situe à -273.16 [°C] ou 0 [K].

C'est l'unité légale de la norme SI (Système International d'unités).

Dans nos applications pratiques, nous travaillerons avec une température q , exprimée en degrés centigrades
ou celsius.

Cette unité ayant été obtenue en divisant en 100 parties égales un thermomètre mesurant de la glace fondante
(admis 0°C) et de l'eau bouillante (admis 100°C) sous une pression p constante de 760 [mm] Hg (Hg est le symbole chimique du mercure)

Symbole de la grandeur : q thêta

Symbole de l'unité : [°C] degré Celsius

Exemple pratique

Nous désirons chauffer 4 [l] d'eau, prise au réseau d'eau à 14[°C], pour l'amener à ébullition (100 [°C]).
Nous disposons d'un corps de chauffe électrique de 400 [W]. Son rendement est de 97%.

Calculer le temps nécessaire pour faire bouillir ce liquide.

Données : P = 400 [W] quantité d'eau = 4 [l] q_initiale = 14 [°C]
q_finale = 100 [°C] h = 97% ou 0.97

Inconnue : t = ?

Relations :

Analyse :

Nous devons chercher la masse d'eau à chauffer.

Calculons l'énergie calorifique Q_eau nécessaire pour chauffer l'eau

Cherchons l'énergie calorifique Q_{corps de chauffe} : Q_{corps de
chauffe}_×h= Q_eau

Cherchons l'énergie électrique W_él appliquée au corps de chauffe

Cherchons le temps t de chauffe

Remplaçons W_él par le développement effectué:

Application numérique

Documentaire

James Watt ingénieur mécanicien écossais (1736-1819). Après avoir étudié la fabrication des instruments de mesures chez un opticien, il s'établit à son compte en 1757. Ensuite, il est nommé fabricant d'instrument pour l'université de Glasgow, où il est amené à réparer la machine à vapeur de Newcomen que personne ne savait faire fonctionner correctement. En la réparant, il en étudie le fonctionnement et s'aperçoit qu'il y a une grande perte de vapeur donc d'énergie. Cela l'amène à en améliorer le fonctionnement.

Tous ces perfectionnements lui permettent d'obtenir un brevet de fabrication en 1769. Il fonde l'entreprise Boulton et Watt et commercialise ses machines à vapeur dès 1780.

James Prescott Joule, physicien anglais (1818-1889). Il est d'abord directeur d'une fabrique de bière, avant de se consacrer à la science.

En 1841, il formule les lois qui portent son nom et démontrent que l'énergie électrique transformée en énergie calorifique dans un conducteur, est proportionnelle à sa résistance R, au temps t et au carré du courant I.

Léopold Nobili, physicien italien (1787 - 1835).

Inventeur du galvanomètre astatique, formé de deux aiguilles aimantées de pôles opposés, permettant de mettre au point les premiers galvanomètres, instruments de mesure du courant électrique.